Come vincere al SuperEnalotto

Vi siete mai chiesti se esiste una formula magica per vincere sempre al SuperEnalotto? Insomma, siamo arrivati al punto di saper calcolare la traiettoria di Marte, perché non possiamo prevedere i sei numeri che usciranno alla prossima estrazione, con la matematica, e vincere un bel po’ di soldi?

In via puramente teorica, sarebbe anche possibile prevedere le estrazioni. Bisognerebbe conoscere lo stato iniziale e tutte le forze in gioco e applicando le leggi della meccanica si dovrebbe poter prevedere il percorso di ogni singola palla dentro la macchina dell’estrazione. Il problema è che gli urti che possono avvenire sono tantissimi e se scrivessimo un’equazione per ogni urto, semplicemente non ne verremmo fuori! Ci sono troppe variabili in gioco!

SuperEnalotto

Vincere al SuperEnalotto? La Matematica ha una risposta.

Quello che possiamo fare realmente è abbandonare l’approccio deterministico (calcolare la traiettoria di ogni singola palla) e adottare quello probabilistico. Possiamo infatti calcolare a priori qual è la probabilità di fare una sestina al SuperEnalotto supponendo che ogni numero ha la stessa probabilità di essere estratto rispetto agli altri.

Ammetto a questo punto che ho leggermente barato con il titolo “Come vincere al SuperEnalotto“, forse era meglio chiamare questo articolo “La probabilità di vincere al SuperEnalotto“, ma i lettori più scaltri avranno capito fin dall’inizio che l’autore di questo blog non ha nessuna intenzione di condividere con il mondo il segreto del SuperEnalotto (ammesso che ne sia a conoscenza), invece l’obbiettivo finale di questo post è quello di calcolare la probabilità di estrarre una sestina particolare con l’ausilio del calcolo combinatorio.

Tutti i ragionamenti che seguono sono scritti per un pubblico non matematico, perciò, alcuni passaggi potrebbero risultare ripetitivi e noiosi per chi mastica già un po’ di matematichese. Alla fine dell’articolo vi rendete conto quanto sia difficile vincere al SuperEnalotto. ;)

 

1. Il concetto di probabilità: un concetto matematico molto semplice.

E’ un concetto che in realtà quasi tutti abbiamo in testa. Ma cerchiamo di dargli una sistemazione un po’ più formale. Quando lanciamo un dado a sei facce, qual è la probabilità che esca il numero 3? Ovviamente è un sesto: 6 sono i numeri che possono uscire, uno solo è quello che vogliamo che esca (il numero 3). Ecco, una delle definizioni matematiche della probabilità è proprio il rapporto fra il numero degli eventi favorevoli e il numero degli eventi possibili. Nel nostro esempio precedente, l’unico evento favorevole (cioè, quello di cui stiamo calcolando la probabilità che accada) è il fatto che esca il numero 3, mentre gli eventi possibili sono tutti i sei numeri che possono uscire (1,2,3,4,5,6).

Teniamo ora a mente la definizione della probabilità matematica:

$$\text{Probabilità} = \frac{\text{numero eventi favorevoli}}{\text{numero eventi possibili}}$$

Torniamo al SuperEnalotto. Supponiamo di aver giocato una sestina particolare, come per esempio,

1 2 3 4 5 6

allora l’evento favorevole è che che esca proprio la sestina 1 2 3 4 5 6, e quindi abbiamo solo un evento favorevole. Quanti sono gli eventi possibili? Cioè, quante sono le sestine possibili che possono venire estratte? Per dare una risposta alla precedente domanda, facciamo il seguente ragionamento:

 

2. Contare le sestine (combinazioni semplici): per vincere bisogna saper contare!

Prendiamo il caso più semplice dei dadi. Se lanciamo due dadi, quante sono le coppie ordinate (contate con ordine) che possono uscire? Al lancio del primo dado possono uscire 6 numeri diversi, e lo stesso vale per il secondo dado, e quindi abbiamo $6 \cdot 6 = 36$ coppie ordinate possibili.

Adesso facciamo lo stesso ragionamento sulle sestine. Alla prima estrazione può uscire un qualunque numero fra i 90 presenti nell’urna, e quindi abbiamo 90 possibilità. Alla seconda estrazione, invece, siccome abbiamo già tolto un numero, avremo solo più 89 possibilità, e così via alla terza avremo 88 possibilità, alla quarta 87 possibilità, alla quinta 86 possibilità e alla sesta estrazione 85 possibilità. In tutto abbiamo quindi $90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 = 448282533600$ sestine possibili.

Attenzione! Abbiamo contato delle sestine in più! Nelle estrazioni non conta l’ordine in cui i numeri vengono estratti! Per esempio, estrarre in ordine i numeri 2 3 4 5 6 7 equivale all’estrazione degli stessi numeri ma in un altro ordine, per esempio 7 3 2 4 5 6 (si vince in entrambi i casi!). Allora con il numero 448282533600 abbiamo contato non solo tutte le sestine possibili ma tutte le sestine possibili ordinate in tutti i modi possibili (e già, in matematica l’ordine conta)! Per sapere solo il numero delle sestine possibili bisogna dividere per un numero che corrisponde al numero di modi possibili di ordinare una sestina di numeri perché abbiamo contato ogni sestina più di una volta!

E allora in quanti modi posso ordinare una sestina di numeri? Facciamo un ragionamento matematico simile a prima. Il primo numero può essere scelto in 6 modi, il secondo in 5 perché un numero è già stato scelto, il terzo in 4, il quarto in 3, il quinto in 2 e il sesto numero può essere scelto in un solo modo (quello che è rimasto). Quindi, dati sei numeri, abbiamo $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ modi di ordinarli. Provare per credere!

 

3. Conclusione: vincere? E’ molto raro e te lo dice la Matematica!

In conclusione, il numero totale delle sestine, senza contare l’ordine, che possono essere estratte sono $$\frac{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$$ e cioè $$\frac{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{448282533600}{70} = 622614630$$

Ricapitolando, abbiamo calcolato:

  • il numero di eventi favorevoli = 1 (la sestina che abbiamo scelto prima dell’estrazione)
  • il numero di eventi possibili = 622614630 (tutte le sestine che possono uscire in un’estrazione)

Ricordando la formula della probabilità:

$$\text{Probabilità} = \frac{\text{numero eventi favorevoli}}{\text{numero eventi possibili}}$$

Abbiamo che la probabilità di vincere una sestina al SuperEnalotto è $$\frac{1}{622614630}$$

che in percentuali è circa 0.00000016 %

Adesso capite quanto è difficile vincere al SuperEnalotto!
 
 
 

19 Risposte

  1. ah, quindi è praticamente impossibile vincere al superenalotto! ma i conti che hai fatto valgono solo per questo caso o posso fare gli stessi passaggi anche per le altre cose?

    • Certo che puoi usarli anche per le altre cose! La mia era solo una piccolissima introduzione al calcolo combinatorio che è una branca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordinare secondo determinate regole gli elementi di un insieme finito di oggetti. Puoi fare dei ragionamenti simili per un miliardo di situazioni possibili: es. giochi d’azzardo.

      Per approfondimenti ti consiglio di leggere la pagina su Wikipedia per iniziare. ;)
      http://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_combinatorio

  2. …a dispetto della tua elaborazione, ma in accordo con la prima parte del tuo ragionamento debbo dire che SE si potesse mettere (piano piano, ke fretta c’é…finora di sistemini insulsi ne sono stati elaborati a bizzeffe!), dicevo, SE si potesse mettere a fuoco ogni variabile relativa all’estrazione dei numeri per poi inserirle in una complessissima equazione [non so se il Cray2 della Nasa ce la farebbe ;-) ] allora avremmo i risultati tanto agognati, salvo imprevisti, ovviamente…ma in un sistema matematico sufficientemente equilibrato sono previste anke variabili relative agli eventi imprevisti!
    Avete mai guardato il telefilm Numbers, quello di quei cervelloni scienziati e studiosi dell’FBI (se non ricordo male…) che riuscivano a creare sistemi matematici per ogni evento/cosa/persona?
    Beh, c’é del vero!… fatto sta ke se anke fosse non ho un’altra vita a disposizione per laurearmi in matematica pura e/o scienze matematiche e quant’altro…

      • Aah, lascialo perdere, è solo un poveretto che crede che le cose nei film si possano fare anche nella realtà: per fare come dice lui dovremmo avere l’onniscenza a livello subatomico e un computer che sappia elaborare tali dati con le regole fisiche delle 4 forze elementari e di azione-reazione: in pratica lui vorrebbe costruire un computer che predice il futuro! Allora non ci sarebbe libero arbitrio e quindi non potremmo decidere di giocare, ma era gia deciso che lo avremmo fatto XD

        • ecco….un altro cui piace la pappa pronta, per niente disposto a faticare x giungere a un risultato…bah!
          Ammetto che il mio discorso aveva una valenza + che altro teorica, ma soprattutto perché nessuno (forse!) si farebbe il cosiddetto per provare…
          e tanto xché tu lo sappia, non si potrebbe comunque predire il futuro, ma andarci + o – vicino, sempre stando alle variabili da introdurre nel sistema, che potrebbero comunque non consentirci di “azzeccarci”! Altro che predire il futuro! Però potrebbe massimizzare le probabilità, in un certo qual modo…

    • Caro R0m4n068 ti devo contraddire. Sei in errore su due punti fondamentali:

      A) il Cray2 della Nasa era in funzione negli anni ’80;

      B) Puoi avere qualsiasi tipo di elaboratore e una laurea e un dottorato in matematica, ma non riusciresti a risolvere il tuo problema. Il motivo? La soluzione a questo problema non c’è. Il superenalotto si basa su una tipologia di estrazione stocasticamente indipendente dalla precedente (ciò vuol dire che le estrazioni precedenti non condizionano in alcun modo l’estrazione in corso). La probabilità di estrarre uno dei 90 numeri è la stessa per ogni singolo numero, ogni combinazione è EQUIPROBABILE. Non esiste un modello probabilistico più conveniente di un altro, questo problema non è modellizzabile se non utilizzando il metodo citato in questo articolo. Cosa vuol dire tutto ciò? Potresti avere il computer più performante del mondo, ma non ti servirebbe a nulla. Sarebbe come servirsi del Tianhe-2 (l’attuale supercomputer più performante al mondo) per svolgere il semplice calcolo 2+2. Sarebbe totalmente inutile. Il modello matematico che definisce la probabilità di vincita al superenalotto è ben noto e completamente conosciuto in tutta la sua intierezza, non ci sono parametri di ordine inferiore da poter considerare, è ESATTAMENTE quello di questo articolo. Spero di essermi spiegato sufficientemente.

  3. ti sei fatto un c**o inimmaginabile , per questo ti ammiro , ci hai fatto capire la probabilità di vicere al superenalotto , grazie

  4. Sono un laureato con 110/lode e non sono riuscito a capire nulla dei tuoi calcoli. Pensa ai pensionati che sono i più scommettitori…….????

    • Ciao maurizio! In che cosa ti sei laureato? Il calcolo combinatorio si fa nei primi corsi di un corso di laurea in matematica…

      Fammi sapere dove non ti è chiaro, così posso migliorare l’articolo! ;)

  5. Salve Matematico Pazzo, mi chiedevo se si potesse restringere in qualche modo il numero delle probabilità da te calcolato epurandolo da combinazioni “inusuali” tipo 1-2-3-4-5-6, 2-3-4-5-6-7 oppure 1-2-3-4-6-7 …ecc. So che hanno la stessa probabilità di sortita, ma nello storico non hanno forse nessuna presenza.C’è un calcolo matematico in grado di calcolare queste combinazioni? Penso che comunque il numero delle probabilità resterebbe altissimo….però era così, giusto per curiosità…grazie mille!

    • Se supponiamo che ad ogni estrazione le condizioni iniziali siano le stesse, allora ogni sestina ha la stessa probabilità di uscire. So che si dice che per n abbastanza grande, tutte le sestine dovrebbero avere la stessa frequenza, ma tieni presente che in matematica per “n abbastanza grande” si intende sempre “n che va all’infinito”: questo sostanzialmente vuol dire che una sestina può anche non uscire per 100 anni, e poi uscire quasi sempre per i successivi 100.

  6. Ciao Matematico pazzo, ho iniziato a leggere il tuo blog e lo trovo molto interessante…una curiosità: come posso riuscire a calcolare le probabilità di indovinare 2,3,4,5 o 6 numeri del super enalotto per 3 o più concorsi di fila?
    Grazie ancora e complimenti!

  7. Ciao Luca!

    Per 3 concorsi di fila intendi almeno una volta nei 3 concorsi o una volta a concorso per 3 concorsi.

    Per il primo caso, più calcolare la probabilità dell’evento complementare, cioè, il fatto di non vincere nulla per 3 concorsi, e poi sottrarre da 1 la probabilità che hai appena calcolato.

    Per il secondo caso, considerando che le estrazioni siano indipendenti, praticamente calcoli la probabilità di vincere in ogni concorso e poi molti queste probabilità.

    Suggerisco queste pagine di Wikipedia:
    http://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_combinatorio
    http://it.wikiversity.org/wiki/Indipendenza_tra_eventi

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